Programiranje u fizici
- 6. DEO -
U ovom delu se nastavlja sa primenom Ojlerovog metoda za rešavanje diferencijalnih jednačina koje opisuju ponašanje tipičnih električnih kola. U ovom delu ćemo se konkretno zadržati na onim modelima koji se opisuju običnim diferencijalnim jednačinama prvog reda.
1. RL kolo
RL kolo je električno kolo u čiji sastav, pored izvora električne struje, ulaze i otpornik i kalem. Šema RL kola je data na slici 6.1.
Primena drugog Kirhofovog pravila dovodi do sledeće jednačine:
$$V_R+V_L-V=0$$
Kada se izrazi \(V\) i kada se primene poznate jednačine za padove napona na osnovnim elektronskim elementima, dobija se:
$$V=V_R + V_L=i \cdot R + L \frac{di}{dt}$$
“Diferencijalni deo” možemo staviti sa leve strane jednakosti, nakon čega se dobija:
$$\frac{di}{dt} = \frac{V}{L} – \frac{i \cdot R}{L} = \frac{1}{L} (V – i \cdot R)$$
Dobijena diferencijalna jednačina opisuje ponašanje RL kola. Njeno egzaktno rešenje je:
$$i = \frac{V}{R} (1-e^{{-\frac{R}{L} \cdot t}})$$
U narednom primeru biće demonstrirano da kako se Ojlerov metod može primeniti za rešavanje diferencijalne jednačine koja opisuje ponašanje RL kola sa sledećim parametrima \(V=50 \: \mathrm{V} \) , \(R=2 \: \mathrm{\Omega} \) i \(L=3 \: \mathrm{H} \). Početni uslovi su \(i)==i() \)
Primer 6.1. – RL kolo rešeno Ojlerovim metodom
U samom početku, otprilike za vreme do 1,5 sekundi i do vrednosti od oko 13 A, jačina struje raste linearno, kao što je to slučaj kod Omovog zakona. Matematička analiza egzaktnog rešenja ukazuje na to da za male vrednosti vremena eksponencijalni član teži nuli, a ceo član u zagradi ima vrednost blisku jedinici, zbog čega je dominantan deo \(\frac {V}{R}\). Nakon 1,5 sekundi, eksponencijalni član više nije zanemarljiv, član u celoj zagradi postaje takođe sve značajniji. Analiza dobijenog grafika ukazuje na to da se kod ovog kola dolazi do saturacije jačine struje već nakon oko 6 sekundi.
DOMAĆI zadatak 6.1.
Rešenje domaćeg 6.1. (pritiskom na dugme “Code” dobijate kod kojim se dolazi do grafika)
2. RC kolo
RC kolo je električno kolo u čiji sastav , pored izvora električne struje, ulaze i otpornik i kondenzator. Šema RC kola je data na slici 6.2.
Primer 5.2. – Slobodan pad u vazduhu
Primena drugog Kirhofovog pravila u slučaju RC kola dovodi do sledeće jednačine:
$$V_R+V_C-V=0$$
Kada se izrazi \(V\) i kada se primene poznate jednačine za padove napona na osnovnim elektronskim elementima, dobija se:
$$V=V_R + V_C=i \cdot R + \frac{1}{C}{}\int ^{t}_{0}i\cdot dt$$
Kako bi se došlo do diferencijalne jednačine koja opisuje RC kolo, poslednju jednačinu je neophodno diferencirati po vremenu, pa sledi:
$$\frac{dV}{dt} = \frac{di}{dt} \cdot R + \frac{i}{C}$$
Pošto se smatra da je izvor napona konstantan, nema promene istog pa je \(\frac{dV}{dt}=0\), pa sledi:
$$0=\frac{di}{dt} \cdot R + \frac{i}{C}$$
“Diferencijalni deo” možemo staviti sa leve strane jednakosti, nakon čega se dobija diferencijalna jednačina koja modeluje ponašanje RC kola:
$$\frac{di}{dt} = \frac{V}{R} \cdot R + \frac{i}{C}$$
Egzaktno rešenje poslednje diferencijalne jednačine je:
$$i = \frac{V}{R} \cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}}$$
U narednom primeru biće demonstrirano kako se Ojlerov metod može primeniti za rešavanje diferencijalne jednačine koja opisuje ponašanje RC kola sa sledećim parametrima \(V=100 \: \mathrm{V} \) , \(R=20 \: \mathrm{\Omega} \) i \(C=0,03 \: \mathrm{F} \). Početni uslovi su \(i(0)=V/R \)
Primer 6.2. – RC kolo rešeno Ojlerovim metodom
Za razliku od RL kola, ovde jačina struje u početnom trenutku ima neku početnu vrednost. Kao što se vidi iz egzaktnog rešenja, kada je \(t=0\), eksponencijalni član je 0, pa je jačina struje jednaka \(V/R\). Nakon što vreme počne da teče, jačina struje opada i dostiže nultu vrednost nakon oko 3 sekunde.
DOMAĆI zadatak 6.2.
Rešenje domaćeg 6.2. (pritiskom na dugme “Code” dobijate kod kojim se dolazi do grafika)