Programiranje u fizici
- 8. DEO -
U ovom delu se će biti predstavljeni neki od efikasnijih metoda za numeričko rešavanje diferencijalnih jednačina, kao što su unapređen Ojlerov metod i Runge-Kuta metod 4. reda
1. Unapređeni Ojlerov metod
Unapređeni Ojlerov metod za rešavanje diferencijalnih jednačina se svodi na upotrebu sledeće jednačine:
$$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2} (f(x_i,y_i) +f(x_{i+1},y_i+hf(x_i,y_i)))$$
Poslednja jednačina se može napisati u nešto drugačijem obliku:
$$y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}(k_{1i}+k_{2i})$$
gde su vrednosti \(k_{1i}\) i \(k_{2i}\):
$$k_{1i}=f(x_i,y_i)$$
$$k_{2i}=f(x_i+h,y_i+hk_{1i})$$
2. Runge-Kuta metod 4. reda
Runge-Kuta metod 4. reda za rešavanje diferencijalnih jednačina se svodi na upotrebu sledeće jednačine:
$$y_{i+1}=y(x)+\frac{1}{6}(F_1+2F_2+2F_3+F_4)$$
gde su \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) i \(F_4\) dati sledećim izrazima:
$$F_1=hf(x,y)$$
$$F_2=hf(x+\frac{h}{2},y+\frac{F_1}{2})$$
$$F_3=hf(x+\frac{h}{2},y+\frac{F_2}{2})$$
$$F_4=hf(x+h,y+F_3)$$